COSTRUZIONI GEOMETRICHE 9: punti notevoli di un triangolo

 Definizione 1: il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane.
Definizione 2: il circocentro di un triangolo è il punto di incontro dei tre assi.
Definizione 3: l'incentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre bisettrici.

Definizione 4: la mediana di un triangolo relativa ad un lato è il segmento che ha per estremi un vertice ed il punto medio del lato opposto.


Costruzione geometrica 1

Disegnare un triangolo scaleno.
Ora tracciamo le tre mediane unendo ogni vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto.
Nota che le mediane del triangolo passano tutte per lo stesso punto, il baricentro, e che tale punto è sempre interno al triangolo.

Proprietà del baricentro: il baricentro divide ogni mediana in due parti in cui quella che ha un estremo nel vertice è doppia dell'altra.

Costruzione geometrica 2

Disegnare un triangolo scaleno.
Per costruire il circocentro di un triangolo qualsiasi ABC, dobbiamo tracciare gli assi di almeno due lati del triangolo.
Ricordiamoci che l'asse di un segmento è il luogo dei punti equidistante dagli estremi del segmento. L'asse di un segmento passa per il punto medio ed è perpendicolare al segmento.

Il circocentro di un triangolo è il punto equidistante dai suoi vertici. E' quindi anche il centro della circonferenza circoscritta. Da qui il nome circocentro.

Costruzione geometrica 3

Disegnare un triangolo scaleno.
Per costruire l'incentro di un triangolo qualsiasi ABC, dobbiamo tracciare la bisettrice di almeno due angoli del triangolo.

Ricordiamoci che la bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante dai lati dell'angolo. Questo si traduce nel fatto che la bisettrice di un angolo è una semiretta che divide l'angolo in due parti uguali.

L'intersezione di tali bisettrice è il punto chiamato incentro. Il nome incentro deriva dalla proprietà dell'incentro, e da cui deriva il suo nome, è quella di essere il centro della circonferenza inscritta al triangolo.

Attività: prova a verificare se l'incentro,circocentro e baricentro del triangolo sono punti sempre interni al triangolo, oppure possono essere esterni.

COSTRUZIONI GEOMETRICHE 8: costruire un esagono regolare

Definizione: si dice  regolare un poligono equilatero ed equiangolo.

Teorema: il lato dell'esagono regolare è uguale al raggio della circonferenza circoscritta.


Costruzione geometrica
Vogliamo costruire un esagono regolare di lato AB assegnato.

Poiché è valido il precedente teorema si può operare come segue:

•    Tracciamo una circonferenza di raggio OA
•    scelto un punto qualsiasi A su questa circonferenza, fatto centro in A e raggio uguale ad OA tracciamo una nuova circonferenza che interseca la prima in due punti B ed F
•    il segmento AB, lato dell'esagono, è dunque uguale al raggio della circonferenza.
•    facendo centro in B tracciamo ora la circonferenza di raggio AB, determiniamo il nuovo punto intersezione C;
•    ripetiamo la costruzione in modo da determinare i punti d'intersezione D, E;
•    disegniamo i segmenti BC, CD, DE, EF, FA che costitutiscono i lati dell'esagono.


Proprietà: ogni angolo interno di un esagono regolare misura 120°, questo perchè l'esagono può essere suddiviso in 6 triangoli equilateri per cui.......

Nota: se volete vedere tuttala costruzione seguite il link: http://www.math.it/cabri/esagono.htm
Potete anche vedere la costruzione dell'ottagono: http://www.math.it/cabri/ottagono.htm

Giorno del pi greco

Il giorno dedicato al pi greco è il 14 marzo: la scelta è stata ispirata dalla scrittura anglosassone per questo giorno, 3.14, scrittura che richiama l'approssimazione con tre cifre di pi greco. Qualcuno si sforza di celebrare il famoso numero trascendente esattamente alle 1:59 del pomeriggio, in modo di adeguarsi alla approssimazione con sei cifre 3.14159.
La prima celebrazione in occasione del "Pi Day" si tenne nel 1988 all'Exploratorium di San Francisco, per iniziativa del fisico americano Larry Shaw, in seguito insignito del titolo di "Principe del pi greco". Il calendario della prima manifestazione prevedeva un corteo circolare attorno ad uno degli edifici del museo e la vendita di torte alla frutta, decorate con le cifre decimali del pi greco.
In questi giorni nei dipartimenti di matematica in varie istituzioni nel mondo si coglie l'occasione per organizzare delle feste. La celebrazione avviene anche in comunità virtuali come Second Life e Facebook.
Il 14 marzo 2010 Google ha omaggiato la giornata del pi greco con una versione artistica del proprio logo

Giorno dell'approssimazione di pi greco

Il giorno dell'approssimazione di pi greco può ricorrere in una delle seguenti date.

• 22 luglio: 22/7 è un'approssimazione di π nota fin dai tempi di Archimede.
• 26 aprile (o 25 aprile negli anni bisestili): per tale data, partendo dal 1º gennaio, la Terra percorre un arco di circonferenza pari a 2 radianti, equivalente a 1⁄π volte l'orbita totale intorno al Sole. L'istante esatto in cui ciò accade è alle 04:23:41 del 26 aprile, 116º giorno dell'anno. Negli anni bisestili, l'istante esatto è alle 12:02:03 del 25 aprile, 116º giorno dell'anno.
• 10 novembre (9 novembre negli anni bisestili): 314º giorno dell'anno in base al calendario gregoriano.
• 21 dicembre (20 dicembre negli anni bisestili): 355º giorno dell'anno, all'1:13 pm, coincidente con il valore approssimato di 355/113 dovuto al matematico cinese Zu Chongzhi.

(articolo tratto da:   http://it.wikipedia.org/wiki/Giorno_di_pi_greco)

Problema 3.5: i tre candidati di Roncofritto

Ci sono 3 candidati alle elezioni di "Roncofritto", un piccolo paesino di 40 anime (candidati compresi...).
Qual'è il numero minimo di voti che deve ricevere il candidato per vincere le elezioni?

(Problema posto da Fabiana S. 1Al)

Problema 3.4: le mele di Pinco e Pallino

Pinco e Pallino hanno delle mele. Se Pinco ne da una a Pallino, ne avrebbero la stessa quantità; se Pallino ne da 2 a Pinco, questi ne avrebbe il triplo di Pallino.
Quante mele ha ciascuno?
(Problema suggerito da Fabiana S. 1Al)

Problema 3.3: costruzione senza matite

Sapresti costruire quattro quadratini identici muovendo solo due fiammiferi?

Problema 3.2*: il gioco dei sacchetti

Ci sono due sacchetti, rispettivamente con 12 e 7 gettoni. Due giocatori, a turno, buttano via i gettoni di un sacchetto a loro scelta e ripartiscono i gettoni dell’altro nei due sacchetti. Perde chi si trova nella situazione in cui ciascuno dei due sacchetti contiene 1 gettone (e quindi non può proseguire). C’è una strategia vincente per il giocatore che fa la prima mossa?

[Suggerimento. Attenzione ai numeri pari e ai numeri dispari. Una posizione è sicura se entrambi i sacchetti contengono un numero ……. di gettoni. Infatti, se lasciamo una posizione di questo tipo, il nostro avversario dovrà ridarci un sacchetto con un numero …… di gettoni e l’altro con un numero …… di gettoni. Noi, allora, …]